📖 Частица нужна для обозначения действия, которое является фоном для другого, основного действия. Аналогом данного значения в русском языке служат деепричастия и деепричастные обороты.

📍 他坐着看书 tāzuòzhekànshū Он сидя (坐 сидеть + 着 zhe) читает книгу, где "читать" будет основным действием, а сидение лишь создает фон, на котором оно осуществляется.

📖 Частица нужна для обозначения статичных действий. В данной ситуации возможны две разновидности:

Действие в бытовом смысле происходит без какого-либо движения. Самые ярким примером будет являться:
📍 桌子上放着一本书 zhuōzishàng fàngzhe yìběnshū На столе лежит (放 класть + 着 zhe) книга.
В этом случае книга не совершает никакого движения, заметного человеческому глазу.

Действие активно, но происходит настолько долго, что долгое пребывание в состоянии его осуществления интерпретируется как отсутствие динамики.
📍 他跑着 tāpǎozhe Он бежит (уже очень долго).

着 zhuó
1) Надевать, одежды: 着衣 zhuóyī - одеваться;
2) Источник: 衣食无着 yīshí wúzhuó неоткуда взять одежду и еду;
3) Остаться: 着家 zhuójiā - оставаться дома;
4) Делать ход в игре: 着棋 zhuóqí - ходит в шахматах.
着 zháo
1) Подвергаться чему-то: 着雨 zháoyǔ - попасть под дождь;
2) Засыпать: 睡着 shuìzháo - заснуть;
3) Загораться: 着火 zháohuǒ - зажечь огонь.
着 zhāo
1) Ход в игре.
2) Трюк уловка.

🧭 В заключении стоит сказать, что овладение данной глагольной частицей необходимо для успешного освоение китайского языка на базовом уровне (A2 - HSK2), в то время как оставшиеся значения будут встречаться уже на более высоком уровне (в основном c B2 - HSK4).